Reciting the Azaan in the right ear and the Iqaamah in the left ear of a newborn baby is considered a Sunnah act.
The proper way to do this is to give ghusl to the baby, hold it, and stand facing the direction of the Qibla. First, recite the Azaan in the right ear, and then the Iqaamah in the left ear. Also, face towards the right when saying "حي علی الصلاة" (Hayya Ala As-Salah) and towards the left when saying "حي علی الفلاح" (Hayya ala al-Falah). However, there is no need to insert your fingers into your ears while reciting the Azaan (as is typically done when calling the Azaan for prayers).
۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔
دلائل:
الدر المختار مع رد المحتار: (385/1، ط: سعید)
"(لا) يسن (لغيرها) كعيد
(قوله: لا يسن لغيرها) أي من الصلوات وإلا فيندب للمولود. وفي حاشية البحر الرملي: رأيت في كتب الشافعية أنه قد يسن الأذان لغير الصلاة، كما في أذان المولود، والمهموم...."الخ
و فیه ایضاً: (387/1، ط: سعید)
"(ويلتفت فيه) وكذا فيها مطلقاً، وقيل: إن المحل متسعاً (يميناً ويساراً) فقط؛ لئلايستدبر القبلة (بصلاة وفلاح) ولو وحده أو لمولود؛ لأنه سنة الأذان مطلقاً.
(قوله: ولو وحده إلخ) أشار به إلى رد قول الحلواني: إنه لايلتفت لعدم الحاجة إليه ح. وفي البحر عن السراج: أنه من سنن الأذان، فلايخل المنفرد بشيء منها، حتى قالوا في الذي يؤذن للمولود: ينبغي أن يحول. (قوله: مطلقاً) للمنفرد وغيره والمولود وغيره ط".
مرقاۃ المفاتیح: (باب الأذان، 414/1)
قال الملا علی القاری:وقال ابن حجر ....الاذان الذی یسن لغیر الصلاۃ کالاذان فی اذن المولود الیمنی والاقامہ فی الیسری۔
Allah the Almighty knows best.
Darul ifta Al-Ikhlas, Karachi.