It is Mustahabb to drink zamzam while standing and facing the Qibla. This is established by a Hadith in which Hazrat Ibn Abbas (may Allah be pleased with him) said: "The Prophet (peace be upon him) drank zamzam while standing".
Nevertheless , it is permissible to drink zamzam while sitting down too.
It is also permissible to put drops of zamzam into the eyes as a form of treatment or for tabarruk.
۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔
دلائل:
صحیح البخاری: (رقم الحدیث: 5617، ط: دار طوق النجاۃ)
حدثنا أبو نعيم، حدثنا سفيان، عن عاصم الأحول، عن الشعبي، عن ابن عباس، قال: «شرب النبي صلى الله عليه وسلم قائما من زمزم»
ارشاد الساری: (ص: 330، ط: دار الفکر)
ويجوز الاغتسال والتوضؤ بماء زمزم ولا يكره عند الثلاثة خلافا لأحمد على وجه التبرك أي لا بأس بما ذكر الا انہ ينبغي أن يستعمله على قصد التبرك بالمسح أو الغسل أو التجديد في الوضوء...الخ
مسند احمد: (32/3، رقم الحدیث: 2183، ط: دار الحدیث)
عن الشعبي عن ابن عباس: أن رسول الله - صلى الله عليه وسلم - دعا بشراب، قال: فأتيته بدلو من ماء زمزم، فشرب قائما.
المحیط البرھانی: (49/1، ط: دار الکتب العلمیۃ)
ومن الأدب: أن يشرب فضل وضوئه أو بعضه مستقبل القبلة إن شاء قائما، وإن شاء قاعدا، هكذا ذكره شمس الأئمة الحلواني رحمه الله. وذكر شيخ الإسلام المعروف بخواهر زادة رحمه الله أنه يشرب ذلك قائما قال: ولا يشرب الماء قائما، إلا في موضعين أحدهما: هذا، والثاني: عند زمزم.
Allah the Almighty knows best.
Darul ifta Al-Ikhlas, Karachi.