"Aa'izah" (عائزہ) written with ز means "a destitute woman," while "Aa'izah" (عائذہ) written with ذ means "one who seeks refuge" or "one who takes shelter."
The version with ذ has a good meaning and may be used as a name. The version with ز has an unfitting meaning and should not be used.
Allah the Almighty knows best.
Darul Ifta Al-Ikhlas, Karachi.
لسان العرب: (498/3، ط: دار صادر)
عوذ: عاذ به يعوذ عوذا وعياذا ومعاذا: لاذ به ولجأ إليه واعتصم. ومعاذ الله أي عياذا بالله. قال الله عز وجل: معاذ الله أن نأخذ إلا من وجدنا متاعنا عنده؛ أي نعوذ بالله معاذا أن نأخذ غير الجاني بجنايته.
و فیه أيضا: (385/5، ط: دار صادر)
عوز: الليث: العوز أن يعوزك الشيء وأنت إليه محتاج، وإذا لم تجد الشيء قلت: عازني؛ قال الأزهري: عازني ليس بمعروف. وقال أبو مالك: يقال أعوزني هذا الأمر إذا اشتد عليك وعسر، وأعوزني الشيء يعوزني أي قل عندي مع حاجتي إليه. ورجل معوز: قليل الشيء. وأعوزه الشيء إذا احتاج إليه فلم يقدر عليه. والعوز، بالفتح: العدم وسوء الحال.